Metode Newton

1. 
   

   Metode Newton

   
   

   Dalam analisis numerik, metode Newton (juga dikenal sebagai metode Newton-Raphson), yang mendapat nama dari Isaac Newton dan Joseph Raphson, merupakan metode yang paling dikenal untuk mencari hampiran terhadap akar fungsi riil.

   Metode Newton sering konvergen dengan cepat, terutama bila iterasi dimulai "cukup dekat" dengan akar yang diinginkan. Namun bila iterasi dimulai jauh dari akar yang dicari, metode ini dapat meleset tanpa peringatan. Implementasi metode ini biasanya mendeteksi dan mengatasi kegagalan konvergensi.  

    Diketahui fungsi ƒ(x) dan turunannya ƒ '(x), kita memulai dengan tebakan pertama, x 0 . Hampiran yang lebih baik x 1 adalah
   
   
   
   Contoh :
   
   Tentukan akar dari persamaan 4x3 – 15x2 + 17x – 6 = 0 menggunakan Metode Newton Raphson. Penyelesaian :
   
   f(x) = 4x3 – 15x2 + 17x – 6
   f’(x) = 12x2 – 30x + 17
   
   iterasi 1 :
   ambil titik awal x0 = 3
   
   f(3) = 4(3)3 – 15(3)2 + 17(3) – 6 = 18
   f’(3) = 12(3)2 – 30(3) + 17 = 35
   x1 = 3 – 18/35 = 2.48571

   iterasi 2 :

   f(2.48571) = 4(2.48571)3 – 15(2.48571)2 + 17(2.48571) – 6 = 5.01019

   f’(2.48571) = 12(2.48571)2 – 30(2.48571) + 17 = 16.57388

   x2 = 2.48571 – 5.01019/16.57388  = 2.18342

   iterasi 3 :

   f(2.18342) = 4(2.18342)3 – 15(2.18342)2 + 17(2.18342) – 6 = 1.24457

   f’(2.18342) = 12(2.18342)2 – 30(2.18342) + 17 = 8.70527

   x3 = 2.18342 – 1.24457/8.70527 = 2.04045

   iterasi 4 :

   f(2.04045) = 4(2.04045)3 – 15(2.04045)2 + 17(2.04045) – 6 = 0.21726

   f’(2.04045) = 12(2.04045)2 – 30(2.04045) + 17 = 5.74778

   x4 = 2.04045 – 0.21726/5.74778  = 2.00265

   iterasi 5 :

   f(3) = 4(2.00265)3 – 15(2.00265)2 + 17(2.00265) – 6 = 0.01334

   f’(2.00265) = 12(2.00265)2 – 30(2.00265) + 17 = 5.04787

   x5 = 2.00265 – 0.01334/5.04787 = 2.00001

   iterasi 6 :

   f(2.00001) = 4(2.00001)3 – 15(2.00001)2 + 17(2.00001) – 6 = 0.00006

   f’(2.00001) = 12(2.00001)2 – 30(2.00001) + 17 = 5.00023

   x6 = 2.00001 – 0.00006/5.00023 = 2.00000

   
   

   iterasi 7 :

   f(2) = 4(2)3 – 15(2)2 + 17(2) – 6 = 0

   
   
   jika disajikan dalam tabel, maka seperti tabel dibawah ini.

   
   

   
   
   karena pada iteasi ketujuh f(x6) = 0 maka akar dari persamaan tersebut adalah x = 2.
   
   
   Atau contoh Soal 2 :
   
   Hitung akar f(x)=e^x – 5x^2,
   ε = 0.00001
   x0 = 0.5
   
   Penyelesaian

   

   Sehingga iterasi Newton Raphson nya sebagai berikut:

   

   Hasil setiap iterasi sebagai berikut:

    

   
   

   Jadi, hampiran akarnya adalah x = 0.605267